教育

2009.08.04

かけ算の順序問題・日常言語と数学・算数

3 × 4 を「3 かける 4」と読む。
3が「かけられる数」で、4が「かける数」である。

この読み方・解釈は少なくとも江戸時代には出現していたらしい。
(参照:「メタメタの日:英語の掛け算の歴史についての仮説」)

そして現在でも日本の小学校ではこのように教えている。

しかし、

3 × 4 を「3 かける 4」と読むのは良いとして、

3が「かけられる数」で、4が「かける数」

3の4倍

この解釈は必然性がないのではないだろうか(そう解釈しても良いが、それがすべてではない)。

4を3倍する

でも構わないのでは?

「順序こだわり教師」のブログには、

「×3」を「3倍」という言葉で表すと、やはり「2の3倍」の方が「3倍の2」というより自然な感じがしませんか。

「いつでも『いっぱいいっぱい。』続・小学校教師のキモチ」のコメント欄より引用)

と書いてあったが、「×」 を 「の〜倍」と読まなくてはならないきまりなんて、ないではないのかい?

あるいはこういう教師もいる。

3人が8個で……という日常会話は,ありえないよね(笑)
(中略)
8個が3人分で24個と言葉で表す。

(「ぱわぁあっぷ blog:初任者からの質問メール」より引用)

4×100mリレーという日常会話は、あり得るよね(競泳・陸上のTV中継でも見ていれば)。

やや古風だが「8掛け(はちがけ)」という言い方がある。0.8を掛けるという意味である(8は8割の意)。

語順通りに記号に置き換えたら「8×」(0.8×)

×が後に来るではないか。

ならば 3×4を「4に3をかける」と考えても良いと思うのだが。

日本語では「〜に」と「○を」は交換可能である。

あなたに手紙を書く

手紙をあなたに書く

どちらもおかしくない。

ならば、3 × 4は「3に4をかける」「3を4にかける」どちらでも良いのでは。

…と書いてきたけれど、そもそも、日常言語の感覚で算数・数学を解釈するのが間違いではないかと思う。数学は日常言語とは別の言語なんだから。

「日本語の言い方で、〜〜って、おかしいから、この順番はおかしいんだよ」式の説明は数学(算数)を教えていることにならないと思う。

「日本語の言い方で、これです一つの本、って、おかしいから、This is a book.はおかしいんだよ」と言うようなもので。

【ヘンなおまけ】

3 × 4 を「3かける(少し間をおいて)4」と5回繰り返してみよう。

あら不思議、4 に 3 をかけるイメージが湧いてきたであろう(え?

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2009.08.03

かけ算の順序問題・番外

ボンヤリと水泳・世界選手権の中継を見ていた。
TVの画面を見て
あ、そうか…
これも、かけ算の式なんだ。

4×100mメドレーリレー

100×4 メドレーリレー じゃないんだよね(笑)

「4×100」が公式の書き方なんだろう。陸上競技でも4×100mリレー、4×400mリレーと表記している。

かけ算の順序問題・覚え書き」のコメント欄に書いたけれど、伝票や請求書の類でも「数量・単価・金額」の順に書く。単価が100円で4個なら4×100=400(円)となる。

小学生が伝票や請求書なんか書くことはまずないが、TVで競泳・陸上大会を見ることはあるし

「かけ算は式の前のほうの単位と答えの単位が同じだ」

↑100m×4=400m が正しく、4×100m=400mはペケ

と教え込むのはやっぱりマズくないかなあ。「4×100だったら400人リレーになってしまって、おかしいですよね」という話になるよ。

実社会や業界の慣行と学校教育が一致しないことはままある。

その際に学校教育を実社会慣行に合わせるべき、とは思わないが、数学のルールですらなく実社会の慣行にも合わないのなら、「そうしなくちゃいけない」ほどに教え込んではいけないのではないか。

■順序を一定にするのは教える側の都合---方便である

かけ算導入期に、教える側が順序を常に揃えて書くのは良いと思う。子どもがわかりやすいだろう、という点で。

でも、「法則」みたいに教えるのは問題だと思う。それは、かけ算の意味を考えることをすっ飛ばしかねない。「前と答えの単位を合わせとけばいい」式の機械的処理を促進することになるんじゃないかと。

「4×100mリレー? 1人が100mで、みんなで400m泳ぐ(走る)んだねぇ」と考えられるのに、「4×100だったら400人リレーだから、おかしいとおもいまぁす!」って押し込んだら、イカンだろ。

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2009.07.19

かけ算の順序問題・覚え書き

ちょちょんまげさんのブログエントリ「掛け算の順序の話」に興味をひかれたので私の思うところを書いてみる。

●かけ算の文章問題を式に書くとき、順序を逆にすると「不正解」なのか?

【問題】
みかんが3個ずつ4枚のお皿に盛ってあります。みかんは何個あるでしょう。

一般的には

3 × 4 = 12 こたえ:12個

であるが、これを

4 × 3 = 12 こたえ:12個

と書いたら、「答えは合っているけど式が合っていないから不正解」とする教師が一部にいるのだという。

「不正解」とする主旨は

・答えだけ合っていても、プロセスが正しくない
・「考え方」が大事である
・「かけられる数」「かける数」を順序正しく書かなければならない

といったものである。

これらの主張をするサイト事例:

http://www.inter-edu.com/forum/read.php?903,1013957,page=1
http://ultramarutti.blog26.fc2.com/?no=595
http://anothertrack.hp.infoseek.co.jp/others/0028.htm
http://anothertrack.hp.infoseek.co.jp/others/0029.htm
http://www.eonet.ne.jp/~mnzbo645/kakekakerare.htm

●プロセス・考え方が大事だ、というのはもっともだが、では、順序が逆だとプロセス・考え方において決定的にマズイところがあるのか?

私の考えでは「別にマズくない」なんだけど。

上の問題を図にしてみた。

(A):「3個のみかん」を先に書く

Kakezan1_3
 

(B):「4枚のお皿」を先に書く

Kakezan2_2

(B)のプロセス・考え方にマズイところは見いだせないのだが。

「順序を正しく書け」派の考え方のポイントは次の通り。

(1)「かけられる数」が先に来なければならない

(2)先に書いた数量の単位=答えの単位 である

(A × B = C のとき、Aの単位 = Cの単位)

しかし…

そんな法則とかルールがあるのだろうか?

それは「かけ算の基本」なのだろうか?

かような法則の心当たりもないし、少し調べてみたけれど、やはり、そんなルールは存在しない。

そもそも、かけ算を習った後の算数・数学で、この(1)(2)はあっさり否定される。

中学の数学では記号を使う。 を2倍する場合であっても2 と書く。2 ×= × 2である。

中学どころか、小4くらいで

正方形の面積は … 一辺の長さ(m)× 一辺の長さ(m)= 面積(m^2

って出てくるではないか。長さの単位(mとか)と面積の単位(m^2とか)は違うものでしょ。

で、こういうことを「数学なんて知らねーよ」という人が言うならまだしも、現職教員や塾教師が書いているので困ったものである。

●なぜ「順序を正しく」を金科玉条にする人がいるのか

「かけられる数を先に書く」と、かけ算を最初に学習するときに割と理解しやすいのではなかろうかと思う。
上に挙げた図を見ると、(A)図のほうがスンナリ考えられそうな気がする。

しかし、それは「理解しやすそうな方法」にすぎず、「それ以外は間違い」とするものではない。

ちょちょんまげさんによると、アメリカでは「かけられる数」を後に書くのだそうだ。冒頭の問題文でいうと、4 × 3 = 12 がアメリカの初等教育のスタンダードな書き方らしい。
なので「かけられる数を先に書く」のが断然理解しやすい、とも言えないのだ。

日本語の問題文では「かけられる数」が始めに出てくることが多いからじゃないのかな、とも思う。(「3個のみかんが…」とか「1個50円の○○を…」等で問題文が始まる)

「かけられる数を先に」とはその程度のもんじゃないかと。
その程度のものを、「その通りじゃなきゃ不正解」とか「考え方がダメ」呼ばわりは不当であろう。

「先に書いた数量の単位=答えの単位」というのも、「かけられる数が先」と決めるからそう考えてしまうだけだ。

普遍的でもない定義をして、それに縛られているのだと思う。

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